On vote, et puis après?

À l’occasion des élections communales de 14 octobre 2018 il n’est pas inintéressant de se pencher sur l’immédiat après élection, à savoir la répartition des sièges. 

Les deux systèmes utilisés en Belgique, la règle d’Hondt et la règle Imperiali,  sont assez proches pour pouvoir être expliquées ensemble,  la première étant utilisée pour les élections fédérales, régionales et provinciales et la seconde pour les élections communales.

On trouve une explication assez claire de ces deux règles sur le site electionslocales.wallonie.be. Nous nous en inspirons à partir de notre propre exemple. Les données sont évidemment complètement fictives.

Supposons que trois partis se présentent à une élection pour laquelle huit sièges sont disponibles. Et supposons toujours que ces trois partis A, B et C récoltent respectivement 600, 400 et 200 voix.  Ces nombres pourraient être différents mais ce qui compte ce sont les proportions entre les résultats.

Règle d’Hondt

Dans cette règle, on commence le processus d’attribution des sièges sur bases des résultats électoraux de chaque liste. On divise ensuite successivement chacun des résultats électoraux par 1, par 2, par 3, par 4, etc. Ces nombres sont appelés les quotients électoraux. On range ces quotients dans l’ordre décroissant  jusqu’à concurrence du nombre total de sièges à attribuer.

Classiquement on illustre ce processus avec un tableau comme celui ci-dessous, avec ici en gras les quotient électoraux qui attribuent les sièges :

  Parti A Parti B Parti C
Nombre de votes 600 400 200
% de votes 50% 33% 17%
:1 600 400 200
:2 300 200 100
:3 200 133 67
:4 150 100 50
:5 120 80 40
:6 100 67 33
:7 86 57 29
:8 75 50 25
Nombre de sièges 4 3 1
% de sièges 50% 38% 13%

Une visualisation graphique du processus peut aider à comprendre ce qui se passe. On commence donc par calculer les quotients électoraux de chaque parti ce qu’illustre le graphique suivant:

On classe ensuite chacun de ces quotients dans l’ordre décroissant, tous partis confondus, mais sans perdre ce lien entre le quotient et le parti auquel il appartient :

Au vu de ce dernier graphique on constate ce qui apparaissait déjà dans le premier tableau : la représentation en sièges qui sort du processus d’Hondt n’est pas nécessairement proportionnelle aux nombres de voix et aux rapports de force entre les partis. Ainsi dans notre exemple les partis A, B et C ont respectivement 50%, 33% et 17% des voix alors qu’en sièges ils ont respectivement 50%, 38% et 13% des sièges. 

Cette non proportionnalité vient du fait que les divisions successives par 1, 2, 3,… reviennent à multiplier par 1, 1/2, 1/3,… or comme on peut le constater ci-dessous la fonction 1/x a une décroissance rapide et non constante :

Le type de décroissance de cette fonction a pour effet que l’on « perd » très rapidement beaucoup de valeur et ensuite de moins en moins. Ce qui a pour effet que les quotients électoraux des plus petits partis décroissent encore rapidement alors que ceux des grands partis en perdent déjà moins comme on peut le constater dans le graphique ci-dessous :

Ce genre de règle défavorise donc les plus petits partis par rapport aux plus grands. Cet avis doit être un peu nuancé au vu du tableau suivant.  Dans celui-ci  on suppose que l’on peut continuer à attribuer des sièges au-delà de 8. La première colonne donne le numéro du siège, les deux suivantes contiennent le quotient électoral et le diviseur correspondant, viennent ensuite le parti qui a obtenu le siège. Les trois dernières colonnes présentent les pourcentages de sièges pour chacun des partis  pour le nombre de sièges attribués (à la 9éme ligne on considère que 9 sièges ont déjà été attribués par exemple) :

Siège  Quotient  Div Parti %A %B %C
1  600,0   1 A 100% 0% 0%
2  400,0   1 B 50% 50% 0%
3 300,0   2 A 67% 33% 0%
4 200,0   3 A 75% 25% 0%
5 200,0   2 B 60% 40% 0%
6 200,0   1 C 50% 33% 17%
7 150,0   4 A 57% 29% 14%
8 133,3   3 B 50% 38% 13%
9 120,0   5 A 56% 33% 11%
10 100,0   6 A 60% 30% 10%
11 100,0   4 B 55% 36% 9%
12 100,0   2 C 50% 33% 17%
13   85,7   7 A 54% 31% 15%
14   80,0   5 B 50% 36% 14%
15   75,0   8 A 53% 33% 13%
16   66,7   9 A 56% 31% 13%
17   66,7   6 B 53% 35% 12%
18   66,7   3 C 50% 33% 17%
19   60,0   10 A 53% 32% 16%
20   57,1   7 B 50% 35% 15%
21   54,5   11 A 52% 33% 14%
22   50,0   12 A 55% 32% 14%
23   50,0   8 B 52% 35% 13%
24   50,0   4 C 50% 33% 17%
             

On constate que dans tout ces cas de figures hypothétiques, la règles des 50%, 33% et 17% (proportions des voix) n’est respectée que dans un cas sur six (lignes en gras dans le tableau). La bonne nouvelle c’est qu’elle est respectée dans un cas sur six mais la mauvaise c’est que dans cinq cas sur six ce n’est pas vrai. Cette règle favorise donc plus souvent les grands partis. 
Voyons ce qu’il en est de la règle Imperiali.

Règle Imperiali

Cette règle ressemble assez fortement à la précédente et est celle qui est utilisée pour les élections communales. 
Le seul changement par rapport à la précédente c’est que l’on commence les divisions non plus à 1 mais à 2. Ce qui revient à supprimer la ligne « :1 » dans le tout premier tableau .  Sur base des mêmes résultats électoraux que précédemment (600, 400 et 200 voix) voici le graphique d’attribution des sièges :

On constate directement que le parti C (en bleu) est encore plus désavantagé que précédemment! On peut alors se demander si c’est dû au nombre de sièges choisi, puisque dans la règle d’Hondt les choses étaient défavorables dans cinq cas sur six. Est-on dans un cas très défavorable ou est-ce plus général ? 
Un tableau similaire au précédent va nous éclairer :

Siège  Quotient  Div Parti %A %B %C
1 300,0   2 A 100% 0% 0%
2 200,0   3 A 100% 0% 0%
3 200,0   2 B 67% 33% 0%
4 150,0   4 A 75% 25% 0%
5 133,3   3 B 60% 40% 0%
6 120,0   5 A 67% 33% 0%
7 100,0   6 A 71% 29% 0%
8 100,0   4 B 63% 38% 0%
9 100,0   2 C 56% 33% 11%
10   85,7   7 A 60% 30% 10%
11    80,0   5 B 55% 36% 9%
12    75,0   8 A 58% 33% 8%
13    66,7   9 A 62% 31% 8%
14    66,7   6 B 57% 36% 7%
15    66,7   3 C 53% 33% 13%
16     60,0   10 A 56% 31% 13%
17    57,1   7 B 53% 35% 12%
18    54,5   11 A 56% 33% 11%
19    50,0   12 A 58% 32% 11%
20    50,0   8 B 55% 35% 10%
21    50,0   4 C 52% 33% 14%
             

Dans ce tableau on voit que dans tous les cas (et non plus cinq fois sur six) le parti C est clairement désavantagé. 

Conclusion

Les règles d’Hondt et encore plus Imperiali avantagent les listes ayant des résultats électoraux plus importants. Cette non proportionnalité peut être vue comme permettant de favoriser l’émergence de majorités claires, mais on peut évidemment lui reprocher cette discrimination des petites listes. 

EDIT :  Si vous voulez approfondir le sujet et savoir comment fonctionne ensuite la dévolution des sièges pour les candidats : «Dévolution des sièges». 

Comment fâcher la majorité des Belges avec leur salaire?

En publiant le salaire moyen desdits Belges pardi!

Ce vendredi 5 octobre 2018 de nombreux médias Belges se sont fait l’écho de l’enquête du site Jobat, titrant la plupart du temps sur ce fameux salaire moyen :  3.329 €1. Le problème c’est que ce concept de salaire moyen et son utilisation à tout va posent de nombreux problèmes. 

Le premier de ces problèmes est la signification même de ce qu’est la moyenne. Quand on demande aux étudiants qui participent à nos cours la définition de la moyenne (arithmétique bien entendu dans ce cas), ils n’ont aucun problème à expliciter comment  se calcule ce nombre. Quand on leur demande sa signification c’est autrement plus problématique. Mon but n’est bien entendu pas de dénigrer leur compréhension du concept mais bien d’illustrer le paradoxe que rencontre ce dernier :  il est extrêmement bien connu et utilisé dans la population mais son interprétation n’a pas la même chance.  Pour clarifier cette dernière, ce qui suit en général ma question aux étudiants sur l’interprétation de la moyenne est la proposition suivante : calculons l’avoir moyen dans nos portefeuilles à l’instant précis dans cette classe. Je propose donc alors  que (de façon imaginaire évidemment) chacun, chacune vienne vider son portefeuille sur la table, que l’on compte le total et que l’on divise le tout par le nombre de personnes. Le contenu moyen des portefeuille dans la classe, est donc simplement ce que chacun aurait en poche si tout le monde avait la même chose.  Et donc le salaire moyen c’est cela aussi : le salaire que chacun, chacune aurait si tout le monde gagnait exactement la même chose. On est évidemment loin du compte de cette dernière affirmation. Ce qui rend donc le salaire moyen assez inadéquat comme évaluation de la tendance centrale (comme disent les statisticiens)  des salaires. La notion de médiane, souvent nettement moins connue et appréciée des mêmes étudiants, est, elle, nettement pus facile à interpréter: la médiane c’est la valeur qui partage en deux parties égales l’ensemble des valeurs considérées (ici les salaires) quand ces dernières ont été classées dans l’ordre croissant. Donc dans le cas de l’enquête sur les salaires, cela reviendrait à prendre l’ensemble des 20.000 salaires collectés par l’enquête, à les classer de façon croissante et ensuite à trouver la valeur qui se situe au milieu. Dans le cas de l’enquête évoquée cette valeur  serait « aux alentours des 3.000 euros brut ». Ce qui est déjà un tantinet plus faible que la moyenne mise en avant.  Ce salaire médian à l’avantage qu’il est un premier élément permettant d’avoir une idée de la répartition des salaires,  ainsi on sait donc que 50% des gens gagent moins de 3000 euros bruts et 50% gagnent plus. Interprétation autrement plus informative sur la population que la moyenne.

Le second problème de la moyenne, comme cela vient d’être déjà évoqué, c’est qu’elle ne donne aucune indication sur la répartition des salaires. Dans une enquête menée en 2013 par la K.U.L. et Références, en plus de ce salaire moyen le tableau suivant était fourni:

  Salaire Brut
10% gagnent moins de  1.842 €
20% gagnent moins de  2.099 €
30% gagnent moins de  2.300 €
40% gagnent moins de  2.530 €
50% gagnent moins de  2.800 €
60% gagnent moins de  3.068 €
70% gagnent moins de  3.404 €
80% gagnent moins de  3.900 €
90% gagnent moins de  4.825 €
Moyenne 3.133 €

Ce tableau a l’avantage que l’on constate tout de suite que la notion de salaire moyen va fâcher plus de 60% des Belges qui gagnaient donc à l’époque moins que ce dernier! Par une simple interpolation linéaire on peut même évaluer qu’en fait c’est 65.51% des Belges qui gagnaient moins que le salaire moyen de 2013. Ce qui nous ramène au titre puisqu’en titrant uniquement sur le salaire moyenne on arrive à « frustrer » quasiment 2/3 des Belges!  Ce tableau nous informe aussi sur la répartition des salaires. Pour représenter la répartition des valeurs étudiées un des outils des statisticiens est la représentation en boxplot ou boîte à moustaches , mais n’ayant pas accès aux données de l’enquête je propose une autre vision des données (assez proche du principe du boxplot) dans la figure ci-dessous:

Cette figure affiche en ordonnées (l’axe des Y placé de façon verticale) les différentes limites du tableau ci-dessus. Chacun des espaces entre les lignes horizontales contient 10% des salaires. L’espace supérieur n’est pas signifiant car je ne connais pas le salaire maximum et comme salaire minimum j’ai utilisé les données d’Eurostats (1562.63 €). Néanmoins rien que sur la partie inférieure du tableau on peut  constater la répartition des salaires. Cette information, quoi qu’incomplète encore, est nettement plus informative que la seule moyenne.

Le  dernier reproche que je formule à cette utilisation du salaire moyen est que dans les communiqués évoqués pour l’édition 2018 de l’enquête de Jobat, on lit aussi que le salaire moyen a augmenté de 4% par rapport à 2017. Au-delà du fait que la chose m’étonne par rapport aux données de 2013, là aussi cette seule information pourrait engendrer des frustrations car on n’a aucune idée précise d’où provient cette augmentation même si on peut lire que « le salaire moyen est tiré vers le haut par les salaires les plus élevés ».  Ainsi dans l’hypothèse où la moyenne des 10% des salaires  les plus élevés de 2013 auraient été de 5500 € (c’est une supposition pour l’exemple bien entendu) alors la moyenne étant de 3.133 €, on peut en déduire le salaire moyen du reste de la population, à savoir 2870 €, et le salaire moyen doit se calculer de la façon suivante :

0.9\cdot 2870 + 0.1 \cdot 5500 = 3133.

Une augmentation de 15% pour les seuls salaires les plus élevés modifierait le salaire moyen sans que les 90% restant n’en soient en réalité affectés :

0.9\cdot 2870 + 0.1 \cdot 5500 \cdot 1.1= 3215.5 .

Ce qui correspond à une augmentation globale du salaire moyen de  2.6% alors que le salaire moyen de l’écrasante majorité  n’a pas changé. La médiane elle n’a pas varié d’un iota.  Supposons maintenant que la moyenne des salaires de la catégorie juste en-deçà de la catégorie des salaires les plus élevés soit connue et égale à 3550 €. A nouveau la moyenne globale devrait alors s’écrire comme suit:

0.8\cdot 2785 + 0.1 \cdot 3550+ 0.1 \cdot 5500 = 3133.

Comme ci-dessus une augmentation de 10% sur ces deux catégories des salaires les plus élevés donnera comme salaire moyen :

0.8\cdot 2785 + 0.1 \cdot 3550 \cdot 1.1 + 0.1 \cdot 5500 \cdot 1.1 = 3223.

c’est à dire une augmentation du salaire moyen de 2.8%…que 80% des salariés ne percevra pas, sauf dans la presse. De quoi augmenter encore la frustration.

En conclusion, et même si je ne suis évidemment pas le premier à plaider pour cela, il devient impératif pour les diverses raisons évoquées d’arrêter la seule utilisation dans les bandeaux titres des médias du salaire moyen, et ce d’autant plus quand on sait à quel point beaucoup de gens partagent des articles sans les avoir réellement lus. C’est d’autant plus dommage de toujours mettre en avant ce seul indicateur, dont on a vu combien il pouvait être frustrant pour la majorité des Belges, que ce genre d’enquêtes fournit en général bien plus de détails que ce qui est finalement utilisé. C’est une bien piètre exploitation des données récoltées par le travail non négligeable que représente l’interrogation de 20.000 personnes. Seule une quantité suffisante de chiffres signifiants peuvent devenir une information fiable. L’adage populaire dit que « les chiffres on leur fait dire ce que l’on veut », doit absolument être complété  par « surtout quand on en utilise peu ».

1 . Malgré mes nombreux efforts je tiens à préciser qu’au moment de la rédaction de cette note je n’ai pas pu accéder aux résultats de l’enquête de Jobat autrement que par l’intermédiaire de médias donc de façon indirecte.